• Open Access Science Articles
  • Science Sessions: The PNAS Podcast Program

Active turbulence in a gas of self-assembled spinners

  1. Alexey Snezhkoa,1
  1. aMaterials Science Division, Argonne National Laboratory, Argonne, IL 60439;
  2. bInstitute of Complex Systems, Forschungszentrum Jülich, 52425 Jülich, Germany;
  3. cInstitute for Advanced Simulation, Forschungszentrum Jülich, 52425 Jülich, Germany;
  4. dDepartment of Biomedical Engineering, Pennsylvania State University, University Park, PA 16802
  1. Edited by David A. Weitz, Harvard University, Cambridge, MA, and approved October 23, 2017 (received for review June 5, 2017)

  1. Fig. 2.

    Spinner clustering and diffusion. (A) Normalized radial pair-distribution function <mml:math><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>g(r) for all spinners (black squares). A clustering can be observed by comparing <mml:math><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>g(r) for spinners rotating in the same direction (green circles) and counterrotating ones (red diamonds). Inset is a blow-up of the first two peaks. (B) The spinners’ displacement probability distribution function indicates the diffusive (<mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>t</mml:mi></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>3</mml:mn></mml:mpadded><mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>t=3s) and the ballistic regime (<mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>t</mml:mi></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>0.1</mml:mn></mml:mpadded><mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>t=0.1s). Red lines are least square fits to <mml:math><mml:mrow><mml:mi>exp</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>?</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>exp(?x2/4Dt). The experimental parameters:<mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>2.7</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>mT</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>B0=2.7mT, <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>60</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>Hz</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>fB=60Hz, and <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>3.5</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>/</mml:mo><mml:msup><mml:mtext>mm</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>?</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>SA=3.5±0.5/mm?2.

  2. Fig. 3.

    Active transport and diffusion. (A) The dependence of the time-averaged velocity <mml:math><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">?</mml:mo><mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">?</mml:mo></mml:mrow></mml:math>?vrms? on the frequency <mml:math><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:math>fB for spinners (squares) and inert particles (circles). (Inset) A typical time evolution of the rms velocity <mml:math><mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>vrms at <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>60</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>Hz</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>fB=60Hz; the red line is a linear fit. (B) MSDs for spinners (squares) and inert particles (circles). The black lines illustrate ballistic (<mml:math><mml:mrow><mml:mo>∝</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>∝Δt2) and active diffusion, with the same scaling as normal diffusion (<mml:math><mml:mrow><mml:mo>∝</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>∝Δt). (Inset) The spinner MSD on linear scales. The red line is a least squares fit to Eq. 1 for the active diffusive part of the curve. (C) Radial probability density function <mml:math><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>P(r) in the active diffusive regime for spinners (squares, <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>t</mml:mi></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>3</mml:mn></mml:mpadded><mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>t=3s) and inert particles (circles, <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>t</mml:mi></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>4</mml:mn></mml:mpadded><mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>t=4s). Red lines are least squares fits to Eq. 2. (A–C) <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>60</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>Hz</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>fB=60Hz, <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>3.5</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mpadded><mml:msup><mml:mtext>mm</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>?</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>SA=3.5±0.5mm?2, and <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>500</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>20</mml:mn></mml:mpadded><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>σT=500±20μm. (D) Frequency dependence of the active diffusion coefficient for spinners (solid symbols) and inert particles (open symbols) as obtained from the MSD (squares) and <mml:math><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>P(r) (circles); <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>3.5</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mpadded><mml:msup><mml:mtext>mm</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>?</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>SA=3.5±0.5mm?2 and <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>500</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>20</mml:mn></mml:mpadded><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>σT=500±20μm. Results of simulations (violet) are shown for comparison. (E) Active diffusion coefficient as a function of the active particle number density <mml:math><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub></mml:math>SA for inert particles as obtained from experiments [MSD, squares, <mml:math><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>P(r); circles, <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>60</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>Hz</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>fB=60Hz and <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>500</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>20</mml:mn></mml:mpadded><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>σT=500±20μm] and simulations (violet). (F) The active diffusion coefficient is a nonmonotonic function of the inert particle size for experiments (green; <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>60</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>Hz</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>fB=60Hz and <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>3.0</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mpadded><mml:msup><mml:mtext>mm</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>?</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>SA=3.0±0.2mm?2) and simulations (violet). The green line indicates the dependence <mml:math><mml:mrow><mml:mo>∝</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>?1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>∝?1/σT. The gray area corresponds to the range of spinner sizes. (A–F) <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>2.7</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>mT</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>B0=2.7mT.

  3. Fig. 4.

    2D turbulence. (A–C) Selected snapshots of experimental (Top) and simulation (Bottom) states. The normalized velocity magnitude <mml:math><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>v/vmax and normalized vorticity <mml:math><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>ω/ωmax fields are visually similar for the experiment (Top) and the simulation (Bottom). <mml:math><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>ω/ωmax enables a distinction between CW (blue) and CCW (red) rotating spinners. Streamlines are superimposed to give a sense of flow. (D) Energy spectrum <mml:math><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>E(k) of the surface flows as obtained from experiments (black) and simulations (violet). 2D turbulent flow reverse energy cascade toward small wave numbers <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>k (large scales) with <mml:math><mml:msup><mml:mi>k</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>?</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:math>k?5/3 scaling. The energy injection region is broad due to a heterogeneity of spinner sizes (gray area). The experimental parameters: <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>2.7</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>mT</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>B0=2.7mT, <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>60</mml:mn></mml:mpadded><mml:mtext>Hz</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>fB=60Hz, and <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>3.91</mml:mn></mml:mpadded><mml:mo>±</mml:mo><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mn>0.05</mml:mn></mml:mpadded><mml:msup><mml:mtext>mm</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>?</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>SA=3.91±0.05mm?2. Simulation parameters: <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>v</mml:mi></mml:mpadded></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>?0.16</mml:mn></mml:mrow></mml:math>fBσ/v=?0.16, <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>?480</mml:mn><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>μ=?480kBTa3/μ0, and <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>?0.8</mml:mn><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>B0=?0.8kBTμ0/a3 (see SI Appendix for details).

  4. Fig. 5.

    Energy spectrum for monodisperse spinners from simulations. Shown are spectra for spinners of lengths <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>/</mml:mo><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mpadded></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>?3</mml:mn></mml:mrow></mml:math>Ls/σ=?3, <mml:math><mml:mn>4</mml:mn></mml:math>4, and <mml:math><mml:mn>6</mml:mn></mml:math>6 at the spinner packing fraction <mml:math><mml:mrow><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:msub><mml:mi>?</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub></mml:mpadded><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>?0.113</mml:mn></mml:mrow></mml:math>?s=?0.113. In all cases, the Reynolds number is <mml:math><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mpadded width="+1.7pt"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mpadded></mml:mrow><mml:mo>≈</mml:mo><mml:mn>?38</mml:mn></mml:mrow></mml:math>Re≈?38. The top and bottom curves are shifted vertically by a constant factor with respect to the middle curve, for better distinction.

Online Impact

  • 864971864 2018-01-22
  • 258841863 2018-01-22
  • 957295862 2018-01-22
  • 553518861 2018-01-22
  • 983792860 2018-01-22
  • 539694859 2018-01-22
  • 956115858 2018-01-22
  • 730379857 2018-01-22
  • 346624856 2018-01-22
  • 201609855 2018-01-22
  • 72549854 2018-01-21
  • 795928853 2018-01-21
  • 752345852 2018-01-21
  • 566508851 2018-01-21
  • 615722850 2018-01-21
  • 689612849 2018-01-21
  • 846903848 2018-01-21
  • 674896847 2018-01-21
  • 11197846 2018-01-21
  • 986896845 2018-01-21